При Соловецькому монастирі знаходиться Елеазарова пустель, яка була названа на честь преподобного Елеазара Анзерского – знаменитого засновника Свято-Троїцького скиту.Елеазар народився в невеликому місті Козельську в купецькій родині Севрюкиных. Згідно з благословення своїх батьків, він відправився в Соловецький монастир, в якому прийняв постриг від преподобного ігумена Иринарха. Відразу після прибуття в монастир Елеазар відкрив в собі дивовижну здатність до художнього ремесла і став активно навчатися різьбі по дереву, а пізніше і став сам брати участь у прикрасі Преображенської церкви.

У 1612 році Елеазар залишив монастир і подався на Анзерский острів, де став вести відлюдницький спосіб життя, весь час перебуваючи в богомыслии і молитвах. Оселився Елеазар на невеликій горі, розташованої прямо біля озера, яке зараз носить назву Великого Елеазарова. На цьому місці він поставив хрест і збудував невелику келію. Для того, щоб харчуватися на спустошеному острові, він вирізав для себе невеликі дерев'яні чаші і залишав їх поруч з пристанню. Коли пропливали повз острова люди, то вони забирали собі чаші, а замість цього залишали продукти і припаси. У 1616 році Елеазар був пострижений в схиму.

На острові преподобний прожив чотири роки, а потім переселився в прибережну зону морський губи, незабаром отримала назву Троїцької. До Священика стали приходити паломники, також як і він, що шукали самоти і тиші. Відомо, що преподобний протягом свого життя завжди вів стародавній порядок пустинножительства. Незабаром було покладено початок будівництва Свято-Троїцького скиту.

Відомо, що на протязі всього свого життя преподобний Елеазар працював над книгописанием - він не тільки склав, але і переписав кілька книг «Квітника», до складу яких увійшли старі і, більшою мірою, забуті повісті. До того ж, преподобному належить тлумачення на чин чернечого келійного правила.

Елеазарова пустель на довгий проміжок часу була забута, і лише на початку 19 сторіччя ієромонах Йосип знайшов на місці проживання Елеазара хрест. Протягом 1825 року була зведена невелика з дерева каплиця в честь преподобного Елеазара Анзерского, в приміщенні якої зберігалися ряса і Псалтир, що належать цьому святому. На сьогоднішній день є відомості про декілька іконах, коли-то що перебувають у каплиці: ікона явища Богоматері преподобному Іову, ікона святителя Филипа з преподобним Иринархом і Елеазаром та ікона явища Пресвятої Богородиці святому преподобному Священика.Починаючи з середини 19 століття, на місці колишнього проживання Елеазара проживав подвижник по імені Феодор.

Протягом часу дії Соловецького табору в будівлі Елеазаровой каплиці був розміщений пікет охоронців. В ті часи пустинь була розорена і закинута на довгі роки.

У 1995 році сталося диво: соловецький загін арктичної морської експедиції обстежив місця, де раніше знаходилася пустель. Протягом 1996-1998 років на цій території проводилися дослідні та археологічні роботи, протягом яких було повністю розчищене фундамент келії. Від старовинної Елеазаровой каплиці дійшли до нашого часу тільки стара двері і початковий вінець зрубу. На даний момент місце розташування каплиці позначено за допомогою дерев'яного хреста.

Важливим фактом є наявність на острові Анзер, між Свято-Троїцьким скитом і Троїцької губою, святого джерела, розташованого зовсім поруч зі скитом. Монастирські ченці дбайливо зберігають це джерело, над яким є зруб і альтанка, а вода з джерела надходить по дерев'яних трубах. Недалеко від джерела встановлено великий поклінний хрест, на якому є напис, що він був поставлений при будівельнику Пармене, а також за участю ієромонаха Єфрема 24 жовтня 1917 року.

В ті часи, коли існував Соловецький табір, великі водовози брали джерельну воду для пиття укладеним. Навіть сьогодні на старовинних застарілих дошках в альтанці можна помітити послання і різного роду розпису бранців смертельного концтабору.